De snuifmolen De Kwikstaart werd gebouwd in 1726. Op 13 december van dat jaar verkreeg Claas Dircksz. IJff de windbrief voor deze molen uitgereikt. Hoe de molen aan zijn bijnaam De Discipel kwam is niet bekend.
Op 3 januari 1739 werd in Zaandam-West bij notaris P.Leur het zogenaamde “Vorff- en snuyfcontract” opgericht. Deze collectieve brandverzekering werd speciaal, zoals zijn naam al doet vermoeden, opgericht voor eigenaren van snuifmolens, tabakstampers en verfmolens. Claas IJff had de molen inmiddels verkocht aan burgemeester David Pel van Westzaan, op zijn naam werd de molen in de brandverzekering opgenomen. De verzekerde waarde van de molen bedroeg Fl.2000,-. Naast De Kwikstaart zou Pel later ook actief zijn met de snuifmolen De Jonge Zwaluw.
David Pel stierf in 1774. De beide snuifmolens kwamen toen in bezit van de Westzaner Cornelis Cornelisz. Tavenier.
De Kwikstaart raakte op 22 februari 1785 in brand en werd compleet verwoest. Een week later ontving Tavenier het volgende van de brandverzekering: “….wegens 't verbranden van zijn comparants Snuijfmoolen genaamd de Quikstaart, de Zomma van 1900 guldens.”
Enkele weken later kocht Cornelis Tavenier de aan de Reef gelegen snuifmolen De Banning. De Kwikstaart werd niet herbouwd.